1-4, 5-7, 8-10, Nøtter

Månedens utfordring #1 – mars 2022

Mattenøtter for å varme opp mattehjernen. Oppgavene passer for 1.-10. trinn.

Tall og tallmønster

Denne aktiviteten kan passe for elever fra 4. trinn og oppover.

Hensikt
Elevene skal lære seg å teste ut en påstand, i dette tilfellet Collatz formodning. Her må elevene jobbe systematisk og strukturert. På jakt etter svar må de bruke addisjon, multiplikasjon og divisjon.

Det enkleste matteproblemet ingen har klart å løse - Collatz formodning

Et av verdens matteproblemer som ennå ikke er løst er Collatz’ formodning (også kalt Collatz’ problem). Det er et uløst tallproblem som ble fremsatt av den tyske matematikeren Lothar Collatz i 1937. Formodningen er som følger:

Velg et hvilket som helst heltall (n). Tallet du har valgt er enten et oddetall eller et partall. Heretter følger vi to enkle regler:

Hvis tallet er et partall, så skal vi dele det på 2. Altså (n/2).
Hvis taller er et oddetall, så skal vi multiplisere det med 3 og legge til 1. Altså (3n+1).

Vi gjentar nå prosessen med det nye tallet vi kom frem til. Hvis du nå fortsetter denne prosessen, ender du til slutt på 1. Hver gang!!

Det formodningen spør om, er om dette gjelder for alle naturlige tall, altså positive heltall (1,2,3,…). Er det slik at vi alltid vil ende opp på 1 etter et visst antall utregninger?

Se eksemplene nedenfor.

Eksempler

Eks. 1
Dersom n=5 har vi følgende:
5 er et oddetall. Vi multipliserer derfor med 3 og legger til 1. Da får vi 5 * 3 + 1 = 16
Det er et partall, så da deler vi på 2. Vi får 16 : 2 = 8
Vi fortsetter med disse to reglene og får følgende utregninger.
8 : 2 = 4
4 : 2 = 2
2 : 2 = 1

Kort oppsummert har vi disse svarene: 5→16→8→4→2→1.

Eks. 2
Hva om vi tar n=7:
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.

Eks. 3
Eller n=13:
13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.

Løkke

Dersom vi ser på tallet 1, så er dette spesielt. 1 er et oddetall, derfor får vi 1 * 3 + 1 = 4. Det er et partall, så da får vi 4 : 2 = 2 som igjen gir 2 : 2 = 1.

Dersom vi fortsetter denne prosessen, så vil vi se at mønstret gjentar seg og vi får det vi i programmering kaller for en løkke.
1→4→2→1→4→2→1→4→2→1→4→2→1→4→2→1→4→2→1…

Matematikere har prøvd millioner av tall og de har aldri funnet et eneste tall som ikke endte på 1 til slutt. Saken er den at de aldri har vært i stand til å bevise at det ikke er et spesielt tall der ute som aldri fører til 1. Det er mulig at det er et virkelig stort tall som går til uendelig i stedet, eller kanskje et tall som havner i en løkke og når aldri 1. Men ingen har noen gang klart å bevise det med sikkerhet.

Dersom du har lyst til å programmere en visualisering av formodningen i Python, så finnes det inspirasjon til det på denne nettsiden.
https://trinket.io/python3/f2a32f2cd0

Dersom du ønsker ytterligere inspirasjon, kan følgende filmer være spennende:

https://www.youtube.com/watch?v=O2_h3z1YgEU
https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg

Hilsing og matematikk

Denne aktiviteten kan tilpasses de fleste klasser (1-10. trinn). Jo lenger elevene har kommet i sin matematiske utvikling, jo flere kan være i gruppen vi starter med.

Hensikt
Elevene skal lære seg å tolke en praktisk situasjon. Det de finner ut må organiseres og systematiseres i jakten på løsningen. Løsningen må så testes ut i praksis. For de eldre elevene kan løsningen de finner generaliseres, det vil si gjøres gyldig for liknende situasjoner.

I dette eksemplet starter vi enkelt med å dele klassen inn i grupper med fire elever i hver. Vi gir så følgende oppgave til elevene.

Oppgave

Dere skal nå hilse på hverandre. Dere må gjerne hilse med albuen. Alle i gruppen skal hilse på hverandre en gang. Ingen skal hilse på samme elev to ganger. Hvor mange hils blir det til sammen i gruppa?

Elevene organiserer og gjennomfører hilsingen i praksis og teller antall. Her er det viktig å jobbe systematisk. Noen vil sikkert stille seg opp på rekke, mens andre vil finne ut at det er bedre å stå i ring.

Elevene skal nå komme frem til et regnestykke som viser hvor mange hils det blir.

Hvor mange hils blir det hvis det kommer en elev til?
Hva hvis halve eller hele klassen skal hilse på hverandre?
Prøv å finne ut av hvor mange hils det blir ved f.eks. 20, 30, 50 eller kanskje 100 personer som skal hilse på hverandre.
Klarer dere å finne en formel?

Dersom du har tilgang på tau eller hyssing, så er dette et godt hjelpemiddel.

Klipp opp så mange taulengder som dere trenger.
Pass på at de er lange nok slik at elevene kan stå i sirkel å se hvordan tauene danner et mønster.
De som hilser på hverandre, skal holde i hver sin ende av tauene. Hva slags mønster kommer fram?

Hilsingen er identisk med å finne ut hvor mange forskjellige linjer du kan trekke mellom et visst antall punkter på en sirkel.

Mulige løsninger fra elevene

Hvis det er 4 elever i sirkelen vil noen hevde at hver elev skal hilse på 3 andre. Det blir 4 * 3 = 12 hilsinger. Andre vil hevde at det blir 12 : 2 = 6, siden antallet må halveres da man ikke skal hilse på hverandre to ganger. Hvis denne siste løsningen ikke kommer opp, bør du be elevene sjekke om svaret de har kommet opp med ikke blir litt for mange? For hvis to personer hilser på hverandre så skal vi vel ikke telle det som to hilsinger? Hvor mange hilsinger har man i så fall for mye?
Når de prøver på nytt vil de erfare at det blir 3 + 2 + 1 = 6 hilsinger, siden de som har hils på førstemann, ikke skal hilse på vedkommende igjen.
Hvis det blir med en elev til i gruppa, så må denne hilse på alle de fire elevene som allerede er i gruppa, så det blir 4 til, totalt 10 hilsinger.

Med den andre måten å tenke på blir det (5 * 4) / 2 = 10 med en ekstra elev.

Her kan det nok dukke opp flere strategier hos elevene. Diskuter de ulike løsningene i gruppa eller i klassen. Litt avhengig av nivå og alder på elevene i klassen, kan man kanskje oppdage formelen for summen av de hele tallene.